卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三文科数学二十一

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13．一辆小车的速度大小不变，先沿一条直线行驶8秒后顺时针转-个角度θ，再沿直线行驶8秒钟，已知16秒钟内行驶的路程是其位移大小的$\frac{2\sqrt{3}}{3}$倍，则θ=（　　）

试题答案

分析 可设小车从A点沿直线行驶8秒到达B点，然后从B点顺时针转一个角度θ，再沿直线行驶8秒到达C点，根据条件便有|AB|=|BC|，|AB|+|BC|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}|AC|$，可设|AB|=s，这样由余弦定理即可求出cosθ，从而得出θ的值．

解答 解：如图，设小车从A点出发，沿直线行驶8秒到达B，从B按顺时针转一个角度θ再沿直线行驶8秒到达C，则：

|AB|=|BC|，$|AB|+|BC|=\frac{2\sqrt{3}}{3}|AC|$；
设|AB|=s，则$|AC|=\sqrt{3}s$，∠ABC=θ；
∴在△ABC中由余弦定理得：$cosθ=\frac{{s}^{2}+{s}^{2}-3{s}^{2}}{2{s}^{2}}=-\frac{1}{2}$；
∴θ=60°．
故选；A．

点评 考查位移的概念：从起点指向终点的向量，清楚位移和路程的关系，余弦定理，以及已知三角函数值求角．