九师联盟2024~2023学年高二摸底联考巩固卷（LG）数学考试试题及答案

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九师联盟2022~2023学年高二摸底联考巩固卷（LG）数学考试试卷答案

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2．设二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

分析（1）由函数的奇偶性和整体思想可得函数解析式；
（2）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$，结合指数函数单调性对a分类讨论可得．

解答解：（1）由题意可得奇函数f（x）满足当x＜0时，$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{a^x}$=1-a^-x，
则当x＞0时，-x＜0，故f（x）=-f（-x）=-（1-a^x）=a^-x-1，
又由奇函数的性质可得f（0）=0，
∴所求的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1，x≥0\\-{a^{-x}}+1，x＜0.\end{array}\right.$；
（2）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$
化简可得$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-3＜{a^{-x+1}}＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\0＜{a^{x-1}}＜5.\end{array}\right.$
当a＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}x＜1\\x＞1-{log_a}2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\x＜1+{log_a}5\end{array}\right.$，
∵此时log_a2＞0，log_a5＞0，
∴不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为R．

点评本题考查指数对数不等式的解法，涉及分类讨论思想和函数的单调性奇偶性，属中档题．