2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷子12

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7．已知函数f（x）=a^x，g（x）=a^2x-b，其中b＜0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为$\frac{5}{2}$．
（1）求a的值； 
（2）若a＞1，且不等式|$\frac{f（x）+bg（x）}{f（x）}$|≤1在x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围．试题答案

分析 （1）由f（x）=a^x为单调函数，即有a^-1+a=$\frac{5}{2}$，即可得到a的值；
（2）化简不等式可得-1≤1+b•2^x-b²•2^-x≤1，运用换元法和指数函数的单调性，结合二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=a^x为单调函数，
即有a^-1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=2或$\frac{1}{2}$；
（2）a＞1，且不等式|$\frac{f（x）+bg（x）}{f（x）}$|≤1在x∈[0，1]恒成立，
即为|1+b•2^x-b²•2^-x|≤1，即为-1≤1+b•2^x-b²•2^-x≤1，
即b•2^x-b²•2^-x≤0，即为2^x≥b•2^-x，（b＜0）显然成立；
又2+b•2^x-b²•2^-x≥0在[0，1]恒成立，
令t=2^x（1≤t≤2），可得bt²+2t-b²≥0，
由b＜0，可得-bt²-2t+b²≤0，在[1，2]恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-b-2+{b}^{2}≤0}\\{-4b-4+{b}^{2}≤0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{-1≤b≤2}\\{2-2\sqrt{2}≤b≤2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
可得2-2$\sqrt{2}$≤b＜0，
则b的取值范围是[2-2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意转化思想的运用和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．