2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷十九

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19．设点M为△ABC的三条中线的交点，O为△ABC所在平面内任意一点，证明：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=3$\overrightarrow{OM}$．试题答案

分析 根据向量加法的几何意义、向量加法的平行四边形法则，以及三角形重心的性质便有$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，将$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$带入上式便可得出$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，从而证出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$．

解答 证明：如图，根据向量加法的平行四边形法则及重心的性质，则：

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}[（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）]$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，重心的概念及其性质．