2023全国100所名校单元测试示范卷高一数学答案

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16．已知A（-5，0），B（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是$\frac{4}{9}$，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．试题答案

分析 设出交点M的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是$\frac{4}{9}$，列式化简．

解答 解：设M（x，y），则
AM斜率k₁=$\frac{y}{x+5}$，BM斜率k₂=$\frac{y}{x-5}$．
∵斜率之积是$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{y}{x+5}$•$\frac{y}{x-5}$=$\frac{4}{9}$（x≠±5），
化简整理得化简，得4x²-9y²=100（x≠±5）
∴M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线（除去实轴两个端点）．

点评 本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．