2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学答案文档

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4．在正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AD₁与平面B₁CD₁所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．试题答案

分析 设正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD₁与平面B₁CD₁所成的角的正弦值．

解答 解：设正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），
设平面B₁CD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设直线AD₁与平面B₁CD₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴线AD₁与平面B₁CD₁所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．