2023年全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷十五

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4．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，且经过点（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；  
（2）过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M，试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．试题答案

分析 （1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再把（0，1）代入椭圆方程，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，且经过点（0，1），
∴根据题意得：c=$\sqrt{2}$，即c²=a²-b²=2①，
把（0，1）代入椭圆方程得：b²=1，
把b²=1代入①得：a²=3，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直线BM与直线DE平行．
证明如下：
∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，
∴可设A（1，y₁），B（1，-y₁），
∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y-1=（1-y₁）（x-2），
令x=3，得M（3，2-y₁），
∴直线BM的斜率k_BM=$\frac{2-{y}_{1}+{y}_{1}}{3-1}$=1．
当直线AB的斜率不存在时，k_BM=1．
又∵直线DE的斜率k_DE=$\frac{1-0}{2-1}$=1，∴BM∥DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AE的方程为y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
令x=3，则点M（3，$\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$），
∴直线BM的斜率k_BM=$\frac{\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∵k_BM-1=$\frac{k（{x}_{1}-1）+{x}_{1}-3-k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-2）-（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{（k-1）[-{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）-3]}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{（k-1）（\frac{-3{k}^{2}+3}{1+3{k}^{2}}+\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}-3）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=0，
∴k_BM=1=k_DE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．

点评 本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．