2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学理科

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8．设θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则二次曲线$\frac{{x}^{2}}{tanθ}$-tanθ•y²=1的离心率的取值范围为（　　）

试题答案

分析 根据已知可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinθ}$，结合设θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得答案．

解答 解：二次曲线$\frac{{x}^{2}}{tanθ}$-tanθ•y²=1可化为：$\frac{{x}^{2}}{tanθ}-\frac{{y}^{2}}{cosθ}=1$，
其中a²=tanθ，b²=cotθ，
∴c²=tanθ+cotθ=$\frac{1}{sinθ•cosθ}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{sinθ•cosθ}}{tanθ}}$=$\frac{1}{sinθ}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinθ∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴e∈（$\sqrt{2}$，+∞），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中求出离心率的表达式，是解答的关键．