2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学一答案

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17．已知α，β是关于x的方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两个根，是否存在θ∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，使|α-β|≤2$\sqrt{2}$，若存在，试求角θ的集合；若不存在，请说明理由．试题答案

分析 由韦达定理和一元二次方程根的存在性可得cosθ的范围，结合余弦函数的图象可得．

解答 解：∵α，β是关于x的方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两个根，
∴△=4（cosθ+1）²-4（cosθ）²≥0，解得cosθ≥-$\frac{1}{2}$  ①
由韦达定理得α+β=-2（cosθ+1），αβ=cos²θ，
由|α-β|≤2$\sqrt{2}$可得（α-β）²≤8，即（α+β）²-4αβ≤8，
代入可得4（cosθ+1）²-4（cosθ）²≤8，解得cosθ≤$\frac{1}{2}$  ②
由①②得-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$+2kπ≤θ≤$\frac{2π}{3}$+2kπ或$\frac{4π}{3}$+2kπ≤θ≤$\frac{5π}{3}$+2kπ（k∈Z）．
故角θ的集合为{θ|$\frac{π}{3}$+kπ≤θ≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z}

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及一元二次方程根与系数关系和三角函数的性质，属中档题．