2024届衡水金卷·先享题·压轴卷(一)理科数学答案

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【题目】已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则 的取值范围是 ．

【答案】[0，8]
【解析】解：由题意M，N是直径的两端点，可得 = ， =﹣1， 则 =（ + ）（ + ）= 2+ （ ）+
= 2+0﹣1= 2﹣1，
即求正四面体表面上的动点P到O的距离的范围．
当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；
当P位于A处时，OP即为正四面体外接球半径最大即为3．
设正四面体的边长为a，由O为正四面体的中心，
可得直角三角形ABE中，AE= a，BE= a，OE= a，AO= a，
综上可得 2﹣1的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．
则 的取值范围是[0，8]．
所以答案是：[0，8]．