2024新高考衡水金卷先享题压轴卷数学试题(一)

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【题目】已知函数 在 处有极值 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断函数 的单调性并求出单调区间.

【答案】
（1）解：f′(x)＝2ax＋ ，

又f(x)在x＝1处有极值 ，

∴ ，即

解得a＝ ，b＝－1.

经检验得a＝ ，b＝－1函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值 .

（2）解：由(1)可知f(x)＝ x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－ ＝ .

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．

【解析】（1）根据题意求出导函数利用极值的定义列出关于a和b的函数式即可求出结果。（2）利用导函数以及极值的情况求出函数的单调性。