衡中同卷 2024-2023学年度下学期高三四调考试(全国卷)数学考试试题及答案

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衡中同卷 2022-2023学年度下学期高三四调考试(全国卷)数学考试试卷答案

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6．高安二中高中年级早上7点早读，假设该校学生小x与小y在早上6：30-6：50之间到校且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小x比小y至少早5分钟到校的概率为$\frac{9}{32}$．

分析（1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}-1$，从而$\frac{1}{{a}_{n}}-1=2（\frac{1}{{a}_{n-1}}-1）$，n≥2，由此能证明{$\frac{1}{a{\;}_{n}}$-1}为首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=（2n-1）（2^n-1+1）=（2n-1）•2^n-1+2n-1，利用分组求和法和错位相减求和法能求出{b_n}的前n项和S_n．

解答证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2-{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}-1$，n≥2
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-1=2（\frac{1}{{a}_{n-1}}-1）$，n≥2，
又$\frac{1}{{a}_{1}}-1=2-1=1$，
∴{$\frac{1}{a{\;}_{n}}$-1}为首项为1，公比为2的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-1={2}^{n-1}$，$\frac{1}{{a}_{n}}={2}^{n-1}+1$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$．
解：（2）∵b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{\frac{1}{{2}^{n-1}+1}}$=（2n-1）（2^n-1+1）=（2n-1）•2^n-1+2n-1，
∴{b_n}的前n项和：
S_n=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+2（1+2+3+…+n）-n
=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+2×$\frac{n（1+n）}{2}$-n
=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+n²，①
2S_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+2n²，②
②-①，得S_n=-1-（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ+n²
=-1-$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-1）•2ⁿ+n²
=（2n-3）•2ⁿ+3+n²．
∴{b_n}的前n项和S_n=（2n-3）•2ⁿ+3+n²．

点评本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．