［齐齐哈尔一模］齐齐哈尔市2023届高三第模拟考试数学考试试题及答案

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［齐齐哈尔一模］齐齐哈尔市2023届高三第模拟考试数学考试试卷答案

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4．已知$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-y），且满足$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，将y表示为x的函数，并求f（x）的最小周期．

分析（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式即可求得最小正周期．
（2）由三角形面积公式可得${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，由$f（A）=\frac{3}{2}$，结合范围A∈（0，π），可得$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²+c²=4+bc，利用基本不等式可得bc≤4，即可求得△ABC的面积的最大值．

解答解：（1）∵$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
由$f（A）=\frac{3}{2}$=sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
由A∈（0，π），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），即可得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得到$A=\frac{π}{3}$，
所以由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-4}}{2bc}$，解得：c²+b²-4=bc，
所以，b²+c²=4+bc，由于b²+c²≥2bc，所以4+bc≥2bc
解得bc≤4，b=c=2取等号，所以△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式及正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．