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2023考前信息卷·第五辑 重点中学、教育强区 考向考情信息卷(三)3数学考试试卷答案
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6．高为1的四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为$\frac{\sqrt{17}}{2}$的同一球面上，在底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
分析方法一：直接赋值求解，先令x=y=0得f（0）=1，再令x=1，y=-1得f（-1）；
方法二：运用奇偶性求解，可先证函数f（x）-1为奇函数，再根据奇函数的性质求解．
解答解：方法一：直接赋值求解
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）-1，解得f（0）=1，
再令x=1，y=-1代入得，f（0）=f（1）+f（-1）-1，
所以，f（-1）=2-f（1）=4；
方法二：运用奇偶性求解
一般地，若f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，则f（x）-1为奇函数．
证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1]+[f（y）-1]，
构造函数，F（x）=f（x）-1，则上式可化为，F（x+y）=F（x）+F（y），
显然，F（x）为R上的奇函数，即y=f（x）-1为R上的奇函数．
因而，F（1）+F（-1）=0，即f（1）-1+f（-1）-1=0，解得f（-1）=4，
故答案为：4．
点评本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数奇偶性的判断和函数值的确定，属于中档题．
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