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2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 二数学试题(更新中)

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试题答案

2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 二数学试卷答案

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15.已知直线l的极坐标方程为$ρsin({θ+\frac{π}{4}})=2\sqrt{2}$,圆C的参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=-2+2sinθ\end{array}\right.({θ为参数})$.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$(φ为参数),过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A,B,求|CA|•|CB|的值.

分析(1)直接运用倍角公式,降幂公式化简原式,出列等量关系式解出B+C;
(2)运用正弦定理和面积公式求三角形面积的最值.

解答解:(1)因为2sin(B-$\frac{π}{12}$)cos(B-$\frac{π}{12}$)+2sin2(C-$\frac{π}{3}$)=1,
所以,sin(2B-$\frac{π}{6}$)=cos(2C-$\frac{2π}{3}$),
所以,(2B-$\frac{π}{6}$)+(2C-$\frac{2π}{3}$)=$\frac{π}{2}$或$\frac{5π}{2}$,
整理得,2(B+C)=$\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$,
所以,B+C=$\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{6}$,
即A=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$;
(2)因为A=$\frac{π}{3}$,根据正弦定理,
b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=4sinB,c=$\frac{a}{sinA}$•sinC=4sinC,
所以,S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=4$\sqrt{3}$sinBsinC
=2$\sqrt{3}$[cos(B-C)-cos(B+c)]=2$\sqrt{3}$[cos(B-C)+$\frac{1}{2}$],
由于B+C=$\frac{2π}{3}$,B-C∈(-$\frac{2π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),
所以,cos(B-C)∈(-$\frac{1}{2}$,1],
因此(S△ABCmax=2$\sqrt{3}$×(1+$\frac{1}{2}$)=3$\sqrt{3}$,
即三角形ABC面积的最大值为3$\sqrt{3}$.

点评本题主要考查了三角函数的恒等变换,以及运用正弦定理解三角形和三角最值的确定,属于中档题.

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