2024届衡水金卷·先享题·压轴卷 新高考 数学(二1答案

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2、2022衡水金卷先享题压轴卷数学（二）

2024年衡水金卷先享题压轴卷广东历史3、

【题目】数列 满足 ，且 .
（1）写出 的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】
（1）解： ，猜想 ；（2）①验证 时成立; ②假设 时，猜想成立，即有 ，由 ，，及 ，证得 时成立,故命题成立.
（2）解：①当 时， 成立；

②假设 时，猜想成立，即有 ，

由 ，，及 ，

得 ，即当 时猜想成立，

由①②可知， 对一切正整数 均成立.

【解析】（1）将n=1，n=2分别代入递推关系式中即可求出a2，a3，通过观察前3项的规律可发现数列{an}是一个等差数列，根据等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d即可写出an并验证；（2）验证当n=1时猜想成立，假设当n=k时猜想成立，证明当n=k+1时猜想成立.
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．