衡阳二模高三3月联考2023数学考试试题及答案

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衡阳二模高三3月联考2023数学考试试卷答案

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6．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N^*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x-x²）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
（1）y（万元）与x（件）的函数关系式为？
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大，并求出最大值．（年利润=年销售总收入-年总投资）

分析（1）由表提供数据知函数不为单调函数，结合表中数据构造方程组，求出各参数的值，可得函数解析式；
（2）结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值及最小值点；

解答解：（1）由表提供数据知函数不为单调函数，
而模型函数Q=at+b，Q=ab^t，Q=alog_bt均为单调函数，所以不适合；
从而选择函数模型：Q=at²+bt+c …..（2分）
将表格数据代入Q=at²+bt+c得方程：
$\left\{\begin{array}{l}150=2500t+50b+c\\108=12100t+110b+c\\150=62500t+250b+c\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{200}\\b=-\frac{3}{2}\\c=\frac{425}{2}\end{array}\right.$…（6分）
所以描述农副产品种植成本Q与上市时间t的变化关系为：Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$…..（7分）
（2）∵Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$的图象是开口朝上，且以直线t=150为对称轴的抛物线，
∴当t=150时，Q取最小值100…．（9分）
答：该农副产品最低种植成本为100元/kg，相应的上市时间为150天…（10分）

点评本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的应用，难度中档．