内蒙古2023届下学期高三大联考(3月)数学考试试题及答案

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内蒙古2023届下学期高三大联考(3月)数学考试试卷答案

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5．已知f（x）=sinx+log₂$\frac{1+x}{1-x}$+1．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$）的值；
（2）若f（sinθ）＞f（cosθ），θ为锐角，求θ的取值范围．

分析利用等差中项和等比中项的性质求得sinα，sinβ与sinθ与cosθ的关系，进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式，利用二倍角公式整理，即可得解．

解答解：依题意可知2sinα=sinθ+cosθ，
sin²β=sinθcosθ，
∵cos2α-$\frac{1}{2}$cos2β=1-2sin²α-$\frac{1}{2}$（1-2sin²β）
=1-2（$\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{4}$）-$\frac{1}{2}$（1-sin2θ）
=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2θ=0．
故答案为：0．

点评本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，考查了同角三角函数基本关系的运用，等差中项和等比中项的性质，属于中档题．