圆创联盟 湖北省高中名校联盟2023届高三第三次联合测评数学考试试题及答案

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圆创联盟 湖北省高中名校联盟2023届高三第三次联合测评数学考试试卷答案

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7．已知函数f（x）=cosωx（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）+m（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$
（I）求ω的值及y=f（x）的单调递增区间；
（II）若y=f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}}$]上的最大值与最小值之和为$\frac{5}{2}$，求m的值．

分析由题意可得，当x＞1时，y′=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0，即a≤x²+x，由此求得a的范围．

解答解：∵函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx在（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，y′=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0，
即a≤x²+x，
由x²+x在x＞1递增，可得x²+x＞2，
∴a≤2，
即a的取值范围为（-∞，2]，
故答案为：（-∞，2]．

点评本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．