2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试卷(一)1数学考试试题及答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试卷(一)1数学考试试卷答案

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16．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以称为“理想函数”的有2个．

分析由题意可得f（x）在（-∞，0]递增，由奇函数的性质可得，f（x）在R上递增，原不等式即为f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），即有m•3^x＜9^x-3^x+2，令t=3^x（t＞0），转化为t的不等式，运用参数分离和基本不等式可得最小值，进而得到m的范围．

解答解：对一切x∈（-∞，0]恒满足f′（x）≥0，
即有f（x）在（-∞，0]递增，
由奇函数的性质可得，f（x）在R上递增，
f（m•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，即为
f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
即有m•3^x＜9^x-3^x+2，
令t=3^x（t＞0），即有mt＜t²-t+2，
则m＜t+$\frac{2}{t}$-1的最小值，由t+$\frac{2}{t}$-1≥2$\sqrt{2}$-1．
当且仅当t=$\sqrt{2}$时，取得最小值．
则m＜2$\sqrt{2}$-1．即m的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

点评本题考查奇函数的定义和性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，属于中档题．