衡中同卷 2024-2023学年度高三一轮复习滚动卷 新教材(二)2数学考试试题及答案

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衡中同卷 2022-2023学年度高三一轮复习滚动卷 新教材(二)2数学考试试卷答案

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8．已知tanα=2，求下列各式的值
（Ⅰ）$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$
（Ⅱ）$\frac{1}{4}{sin^2}α+\frac{1}{3}sinαcosα+\frac{1}{2}{cos^2}α+1$．

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出l的直角坐标方程，由cos²α+sin²α=1，能求出C的直角坐标方程．
（2）求出C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离，利用三角函数性质能求出C上的点到l距离的最大值和最小值．

解答解：（1）∵直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+4=0，
ρcosθ=x，ρsinθ=y
∴l的直角坐标方程为x-y+4=0．
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
cos²α+sin²α=1，
∴C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离：
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{5}sin（θ+α）+4|$，
∴C上的点到l距离的最大值为${d}_{max}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，最小值为${d}_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$．

点评本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理运用．