湖北省荆州中学2024-2023高一上学期期末考试数学考试试题(更新中)

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湖北省荆州中学2022-2023高一上学期期末考试数学考试试卷答案

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17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，其弦AB的中点为M，若直线AB和OM的斜率都存在（O为坐标原点），则两条直线的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．

分析（Ⅰ）直线l消去参数t，能求出直线l的普通方程，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C₁的直角坐标方程．
（Ⅱ）由坐标变换求出曲线C₂的方程为x’²+y’²=1，求出圆心C₂到直线l的距离，由此能求出点P到直线l的距离的最大值．

解答解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数，t∈R），
消去参数t，得直线l的普通方程为：x-y-2=0…（2分）
∵曲线C₁的极坐标方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：3x²+4y²=12，即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）∵曲线C₁经过坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x’}\\{y=\sqrt{3}y’}\end{array}}$得到曲线C₂，
∴由题意知，曲线C₂的方程为x’²+y’²=1，其圆心C₂（0，0），半径r=1…（8分）
∴圆心C₂（0，0）到直线l：x-y-2=0的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$…（10分）
∴点P到直线l的距离的最大值为$d+1=\sqrt{2}+1$…（12分）

点评本题考查直线l的普通方程和曲线C₁的直角坐标方程的求法，考查点P到直线l的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要注意极坐标方程、参数方程、普通方程互化公式的合理运用．