东省广州市2023届第一学期高三调研测试数学试题(更新中)

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东省广州市2023届第一学期高三调研测试数学试卷答案

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6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点R（-1，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$．（1）当直线l的倾斜角为60°时，求三角形OPQ的面积；
（2）当三角形OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．

分析（1）利用函数的导数，通过函数的极值点，求解即可．
（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，然后求解最值．

解答（本题满分12分）
解：（1）f′（x）=6x²+2ax，由题意得f′（1）=0⇒a=-3；
（2）由（1）f′（x）=6x（x-1），令f′（x）=0⇒x=0或x=1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x$（-\frac{1}{2}，0）$0（0，1）1 （1，2）

f′（x）

+

0

–

    0

+

f（x）

↗

2

↘

1

↗$f（-\frac{1}{2}）=1$，f（0）=2，f（1）=1，f（2）=6
所以f_max（x）=6，f_min（x）=1

点评本题考查函数的极值点以及函数的单调性的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．