2024届全国100所名校单元测试示范卷数学答案必修三

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6．证明：cos（cosx）＞sin（sinx）试题答案

分析 设sinx=t，f（t）=cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，分-1≤t≤0和0＜t≤1两种情况进行证明f（t）＞0．

解答 证明：设sinx=t，则-1≤t≤1，cosx=±$\sqrt{1-{t}^{2}}$，cos（cosx）=cos（±$\sqrt{1-{t}^{2}}$）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$，
∴cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
令f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
（1）当-1≤t≤0时，0≤$\sqrt{1-{t}^{2}}$≤1，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞0，sint≤0，
∴f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint＞0，
（2）当0＜t≤1时，f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-cos（$\frac{π}{2}$-t），
令g（t）=1-t²-（$\frac{π}{2}$-t）²=-2t²+πt-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1，
∵△=π²+8（-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1）=8-π²＜0，
∴g（t）＜0，1-t²＜（$\frac{π}{2}$-t）²，
∵1-t²≥0，$\frac{π}{2}-t＞0$，∴$\sqrt{1-{t}^{2}}$＜$\frac{π}{2}-t$，
又∵$\frac{π}{2}-t＜\frac{π}{2}$，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞cos（$\frac{π}{2}$-t），即f（t）＞0．
综上，f（t）＞0，∴cos（cosx）＞sin（sinx）．

点评 本题考查了三角函数的性质，使用换元法转化成函数是关键．

2.D(因果不当,根据原文厂繁荣的盛唐给了他昂扬的精神面貌和建立非凡功业的理想,他用理想主义的眼光去看生活,似乎不世功业睡手可得。但当他去敲仕途大门的时候,呈现在他面前的不仅有盛唐的荣,还有它的腐败与黑暗……李白讴歌理想,抒发悲愤:蔑视权贵,追求自由;揭露现实,抨击时政;情绪起伏。充满矛盾。这些都在李白的诗歌中体现出来了,最终形成了浪漫主义的诗风”可知)