(新高考)高考数学二轮精品复习专题23《利用导数证明不等式》(解析)

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1、专题23 利用导数证明不等式一、多选题 1已知函数，数列的前n项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）ABCD【答案】AB【分析】A计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C根据与的大小关系进行判断；D构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.【详解】A选项，A正确；B选项，因为，所以当时，所以单增，所以，因为，所以，所以，B正确；C选项，因为，所以，C错误；D选项，令，所以在单调递增，所以，所以，则，所以，即，所以，所以D错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问。

2、题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.2下列不等式正确的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】ABC【分析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A：设，则，令，解得，当时函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在时，函数取得最小值，故当时，故A正确；对于B：设，所以，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；对。

3、于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，（1），所以当时，故C正确；对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，所以时，成立，时，故D错误故选：ABC3已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABC是R上的增函数D，则有【答案】AD【分析】由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.【详解】由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了利用导。

4、数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.二、解答题4已知函数，若最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，证明：.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时， ，由可得答案得；（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.【详解】（1）由已知，定义域为.由，得.当时，在单调递增无最小值.当时，；，.故，令，.，；，所以由，得.（2）由（1）可知，此时等价于，由（1）可知当时，.故，即.所以，故.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究。

5、函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.5已知函数，.（1）当时，求函数的最大值；（2）设，当，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，由的单调性得出函数的最大值；（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.【详解】解1）当时，.当时，；当时，.函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由题可知，是函数的零点.当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减故函数要有两个零点，必有，即.要证，只需证只需证 由于，函数在上存在唯一零点即. 由（1）知，所以，且当时，取等号函数在上存在唯一零点即. 由可知成立，故.【点睛】求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.6已知函数，其中为自然对数的底数（1）当时，证明：；（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；。

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