(通用)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习41《直线与圆锥曲线的位置关系》(含详解)

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1、考点41 直线与圆锥曲线的位置关系（1）了解圆锥曲线的简单应用.（2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，。

2、若b0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛。

3、物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1）AB为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所。

4、在直线的斜率.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆x2+4y2=4，直线l:yxm(1)若l与椭圆有一个公共点，求m的值；(2)若l与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得。

5、，即5×2+8mx+4m24=0，由于直线l与椭圆有一个公共点，则=8016m2=0,所以m=5.(2)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)，由(1)知：，则|PQ|=2.解得：m=304.典例2 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，当时，满足题意，此时直线的方程为；当时，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为，或，或.（2）易得直线MF的方程为，由得设，则，从而，所以的面积为1已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为ABCD2已知点到抛物线的准线的距离为2.（1）求抛物线的方程及焦点的坐标；（2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，求直线与的斜率之积.考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根。

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