［浙江大联考］浙江省2024届高三年级8月联考数学考试试题及答案

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［浙江大联考］浙江省2024届高三年级8月联考数学考试试卷答案

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17．设D是△ABC中BC边上的中点，过D作一条直线分别交直线AB、AC于点M、N，设$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且m＞0，n＞0．
（1）分别用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$；
（2）试探究：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否为定值．

分析先用“立方和”公式a³+b³=（a+b）•（a²-ab+b²），将原式化为（a+b+c）•（a²-ab+b²），再根据题中条件得出结论．

解答证明：运用“立方和”公式证明
a³+b³=（a+b）•（a²-ab+b²），
∴原式=a³+b³+（a²c+b²c-abc）
=（a+b）•（a²-ab+b²）+c（a²-ab+b²）
=（a+b+c）•（a²-ab+b²）
∵a+b+c=0，
∴原式=0，
即当a+b+c=0时，a³+a²c+b²c-abc+b³=0．

点评本题主要考查了运用综合法证明等式问题，涉及到立方和公式的应用，属于基础题．