新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题02《立体几何中存在性问题的向量解法》（解析）

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1、专题02 立体几何中存在性问题的向量解法题型一 与平行有关的存在性问题1如图，在正方体中，是棱的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系， 则，0，1，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为；（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面证明如下：设的坐标为，1，因为的坐标为，1，所以，若在棱（包含端点）上存在点，使平面，则，所以，即，这与矛盾，所以棱（包含端点）上不存在点，使平面2如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边。

2、长的倍，为侧棱上的点（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）连接，设交点为，连接，为正方形，点为与的中点，由题意可知，故，同理，且，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，所以平面的一个法向量为，平面，所以平面的一个法向量为，设平面的平面角为锐角，则，则，二面角的大小为；（2），设，故，于是，平面的一个法向量为，且平面，解得，即点为线段的三等分点且靠近点3已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存。

3、在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接，四边形为菱形，又平面，平面，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，为在平面上的射影，为直线与平面所成角，则，得，令，则，又四边形为菱形，为等边三角形，得，取的中点，连接，可得，且，以为原点，分别以，所在直线为，建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，0，2，设，三点共线，则，解得，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量为，则，令，则，二面角为，解得，当时，点与点重合，存在点即为点时，二面角为4如图：平面，四边形为直角梯形，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？。

4、若存在，求的值，若不存在，请说明理由【解答】（）证明：取中点，连接，因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，于是平面平面（）解：因为平面，所以、，又因为，所以、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，1，设平面的法向量为，令，1，平面的法向量为，0，所以二面角的余弦值为（）解：不存在，理由如下：假设在棱上存在点，使得平面，令，则，0，0，由（）知平面的法向量为，1，因为平面，所以，解得，与，矛盾，所以在棱上不存在点，使得平面5如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，是线段的中点，连结（）求证：；（）求二面角的余弦值；（。

5、）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（）证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以（）连结因为，为的中点，所以由（）可知平面，所以，设，则如图，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系则所以，因为平面，所以是平面的一个法向量设平面的法向量为，则，所以令，则，得，所以由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（）当点是线段的中点时，平面理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于假设线段上存在点使得平面设，则所以由，解得所以当点是线段的中点时，平面，且6古代数学名著九章算术中记载：“刍ch甍mng者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼刍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形为正方形。

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