贵州省黔东南州2024-2023学年度高一第二学期期末文化水平测试数学考试试题及答案

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贵州省黔东南州2022-2023学年度高一第二学期期末文化水平测试数学考试试卷答案

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12．学校要组织一次田径暨游艺运动会．为了测试该运动的受欢迎程度，全校从6000名学生（其中男生2800名）按性别进行了分层抽样调查，抽查到的男生有140人．
（1）抽查到的女生有多少名；
（2）将抽查的情况进行统计得下表：

	喜爱	不太喜爱	总计
男生	100	40
女生		100
总计

请将上表填写完整．并由此说明是否有99.9%的把握认为“喜爱该活动”与性别有关？
附表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（3）高一四个班组成四个队，分别选择“搭桥过河”，“推球”，“跳大绳”三个游艺项目，且每个队的选择相互独立，设选“搭桥过河”的队数为X，试求X的分布列及数学期望．

分析根据“等差”向量的定义得出$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即B是线段AC的中点，判断①正确；
根据B是线段AC的中点，结合“等差”向量定义，即可判断②正确；
根据点B是线段AC的中点，结合平面向量的运算法则与“等比”向量的定义，判断③错误；
根据余弦定理求出∠AOC的大小，利用点到直线的距离以及“等比”向量的概念，判断④正确．

解答解：对于①，若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即点B是线段AC的中点，①正确；
对于②，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，②正确；
对于③，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞∈（0，π），∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞＜1，
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{OA}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$）≥$\frac{1}{4}$（2|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）
＞$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，③错误；
对于④，∵|$\overrightarrow{OA}$|=5，|$\overrightarrow{OC}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=7，
∴cos∠AOC=$\frac{{5}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，∴∠AOC=60°；
又点O到直线AC的距离d=$\frac{5×8sin60°}{7}$=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
且点B在直线AC上，∴|$\overrightarrow{OB}$|≥$\frac{20\sqrt{3}}{7}$；
若$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$依次成“等比”向量，则${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=5×8×$\frac{1}{2}$=20，
又|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$＜$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，④正确．
故答案为：①②④．

点评本题考查了新定义的平面向量的应用问题，也考查了直线方程与等差等比数列的应用问题，考查了余弦定理的应用问题，考查了分析问题与解答问题的能力，是综合性题目．