卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷高三.数学卷（十四）综合测试二

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12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，过点M（1，1）的直线与椭圆相交于A、B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程．试题答案

分析 由于A，B两点是直线与椭圆的交点，故它们应满足椭圆方程，设出它们的坐标，然后根据它们的中点为M，可将坐标间的关系转化为求直线AB的斜率，然后再由点斜式求出直线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，①，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$=1．②
①-②，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{8}$=0．
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
又∵M为AB中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直线AB的斜率为-2．
∴直线AB的方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法求直线方程的方法，注意运用斜率公式和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．