卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷.高三.数学卷(一)必考(文科) 第一单元 集

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15．求函数f（x）=$\frac{sin\frac{5}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2}$的值域．试题答案

分析 先将函数式化为f（x）=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$的形式，再结合cosx的范围，求得函数f（x）的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{sin\frac{5}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{sin\frac{5x}{2}-sin\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}$
=$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}$•[sin（$\frac{3x}{2}$+x）-sin（$\frac{3x}{2}$-x）]
=$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}$•2•cos$\frac{3x}{2}$•sinx，
=2•cos$\frac{x}{2}$•cos$\frac{3x}{2}$=cos2x+cosx
=2cos²x+cosx-1
=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，所以，
①当cosx=-$\frac{1}{4}$时，函数f（x）取得最小值-$\frac{9}{8}$；
②当cosx=1时，函数f（x）取得最大值2，
故函数f（x）的值域为：[-$\frac{9}{8}$，2]．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换，涉及两角和差的三角函数，倍角公式，以及运用配方法求函数最值，属于中档题．