卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷必修二数学人教版

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1．F₁、F₂为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c²，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．试题答案

分析 利用△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c²，求出双曲线的渐近线的倾斜角，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线的渐近线的倾斜角为α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由题意，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c²，则$\frac{1}{2}$c²sin2α=$\frac{1}{2}$c²，
∴α=45°，
∴b=a，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，求出b=a是关键．