2024-2023学年度高一第二学期芜湖市教学质量统测数学考试试题及答案

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2022-2023学年度高一第二学期芜湖市教学质量统测数学考试试卷答案

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7．求下列函数的最小正周期及最大值、最小值：
（1）y=$\frac{1}{2}$sin3x一1；（2）y=（sinx+cosx）²；（3）y=2sinx-5cosx+1．

分析问题可以等价为：要证y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，只需证y=f（x）图象上任意一点P关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称的点P′也在函数y=f（x）的图象上．

解答证明：设P（x₀，f（x））是y=f（x）上任一点，
点P关于直线x=$\frac{a+b}{2}$的对称点P′的坐标为（a+b-x₀，f（x₀）），
要证y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，
只需证P’（a+b-x₀，f（x₀））也在函数y=f（x）的图象上，过程如下：
∵f（a+x）=f（b-x）对任意实数x都成立，
∴f（a+b-x₀）=f[a+（b-x₀）]=f[b-（b-x₀）]=f（x₀），
即f（a+b-x₀）=f（x₀），
所以，点P′（a+b-x₀，f（x₀））在函数y=f（x）的图象上，
故y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称．

点评本题主要考查了函数图象对称性的证明，采用了等价的方式，即等价为P的对称点P’也在函数图象上，属于中档题．