卷临天下2023文科全国一百所名校单元测试示范卷高三数学三

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12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61．
（I）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（II）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，求△ABC的面积．试题答案

分析 （1）进行数量积的运算，可以求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$，从而可以求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$，进而可以得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值；
（2）由上面求出的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$便可求出∠ABC的值，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积．

解答 解：（1）由已知条件，$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}=4•16-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3•9=61$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-6$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=16-12+9=13$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$；
（2）如图，
由题意可得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=12cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-6$；
$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{2π}{3}$；
∴$∠ABC=\frac{π}{3}$；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|sin∠ABC=3\sqrt{3}$；
即△ABC的面积为3$\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值，先求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法，向量夹角的概念，需清楚向量夹角的范围，以及三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．