广东省云浮市2024~2023学年高二第二学期高中教学质量检测(23-495B)数学考试试题及答案

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广东省云浮市2022~2023学年高二第二学期高中教学质量检测(23-495B)数学考试试卷答案

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14.红薯富含多种营养物质,有“长寿食品”之誉,还有多种药用功能。俗话说,“一年甘薯半年B粮,栽上红薯心不慌”,科学储藏可使红薯有较长的食用期。下列与红薯储藏相关的分析析,错误的是A.储藏期要做好通风管理,潮湿的环境能加速微生物繁殖B.保持窖内温度在零度以下,减少红薯呼吸作用消耗有机物C.若窑内上年储藏过红薯,要铲去窖内一定厚度的表土,以减少储藏时的病害D.红薯呼吸作用产生CO2,人窖取红薯前要进行排气以防中毒

分析构造函数f（x）=sinx，由f′（x）在（0，π）上是减函数，得出存在点ξ∈（x₁，x₂），使f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
η∈（x₂，x₃），使f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$，再由f′（x）的递减性即得所证．

解答证明：设函数f（x）=sinx，则f′（x）=cosx在（0，π）上是减函数；
∵f（x）在（x₁，x₂）上可导，在[x₁，x₂]上连续，
∴由拉格朗日中值定理知，
存在一点ξ∈（x₁，x₂），使得f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
同理，存在一点η∈（x₂，x₃），使得f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$；
又ξ＜η，利用f′（x）的递减性知，
f′（ξ）＞f′（η），
∴$\frac{sin{x}_{1}-sin{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$．

点评本题考查了利用函数的导数证明不等式的问题，也考查了转化思想的应用问题，是较难的题目．