卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷（一）第一单元集合

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9．已知函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$，判断函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．试题答案

分析 先利用函数的单调性定义判断函数f（x）在区间[1，4]上是单调增函数，再求它的最值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$=2-$\frac{1}{x+1}$，
∴任取x₁、x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（2-$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$
=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
∵1≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间[1，4]上是单调增函数，
它的最大值是f（4）=$\frac{2×4+1}{2+1}$=3，
最小值是f（1）=$\frac{2×1+1}{1+1}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了利用单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性以及利用单调性求最值问题，是基础题目．