大联考·2024-2023学年高二年级阶段性测试(五)数学考试试题及答案

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大联考·2022-2023学年高二年级阶段性测试(五)数学考试试卷答案

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11．下列叙述正确的个数是（　　）
①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
②若命题p：?x₀∈R，x₀²-x₀+1≤0，则￢p：?x∈R，x²-x+1＞0；
③在△ABC中“∠A=60°”是“cosA=$\frac{1}{2}$”的充要条件；
④若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角．

分析（1）对a与1的大小关系分类讨论即可解出．
（2）利用基本不等式的性质即可得出证明．

解答解； （1）当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1，解集为{x|a＜x＜1}，
当a=1时，原不等式无解，解集为∅．
当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a，解集为{x|1＜x＜a}．
所以综上所述：当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}；
当a=1时，原不等式解集为∅；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}．
（2）证明：∵x＞0，y＞0，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4，当且仅当x=y＞0时取等号．
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4．

点评本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．