卷临天下2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学理

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9．对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$（0≤x＜3），对其定义域内的任意x，恒有f_K（x）=f（x），则（　　）

试题答案

分析 若f_K（x）=f（x）恒成立，则f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$≤k，（0≤x＜3）恒成立，利用换元法，求出函数的值域，可得答案．

解答 解：∵函数f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，
函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$（0≤x＜3），
若f_K（x）=f（x）恒成立，
则f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$≤k，（0≤x＜3）恒成立，
令t=x²-2x，0≤x＜3，
则t∈[-1，3），y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）^t∈（$\frac{1}{27}$，3]，
故k≥3，
即K的最小值为3，
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，恒成立问题，指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．