23全国100所名校单元测试示范卷数学卷二

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17．已知在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{（-1）ⁿ•b_n}的前n项和S_n．试题答案

分析 （1）由已知利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，得（-1）ⁿ•b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）=（-1）ⁿ$•\frac{1}{n}$+（-1）ⁿ•$\frac{1}{n+1}$，由此根据n的奇偶性进行分类，能求出数列{（-1）ⁿ•b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=3（{a}_{1}+d）-1}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\\{d≠0}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，
∴（-1）ⁿ•b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）=（-1）ⁿ$•\frac{1}{n}$+（-1）ⁿ•$\frac{1}{n+1}$，
∴当n是奇数时，数列{（-1）ⁿ•b_n}的前n项和：
S_n=（-$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）+（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=-1-$\frac{1}{n+1}$
=-$\frac{n+2}{n+1}$．
当n是偶数时，数列{（-1）ⁿ•b_n}的前n项和：
S_n=（-$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$）+（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）
=-1+$\frac{1}{n+1}$
=-$\frac{n}{n+1}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n+2}{n+1}，n为奇数}\\{\frac{n}{n+1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分类讨论思想的合理运用．