2023卷临天下100所名校单元测试示范卷高三数学卷11G3DY

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9．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=（　　）

试题答案

分析 利用函数单调递增及n∈N^*时，f（n）∈N^*，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．

解答 解：由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．
∵当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；
②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，
则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，
∴f（4）=6．
f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，
f（7）=f（f（5））2×5+1=11．
∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．