2023届高三全国100所名校单元测试示范卷·理科数学(十九)

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7．已知函数f（x）=sin²（ωx）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）

试题答案

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．

解答 解：由函数f（x）=sin²（ωx）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$cos2ωx （ω＞0）的周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，可得ω=1，
故f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x．
若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=-$\frac{1}{2}$cos2（x-a）=-$\frac{1}{2}$cos（2x-2a）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+$\frac{π}{2}$，a=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
则实数a的最小值为$\frac{π}{4}$．
故选：D

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．