2023年全国100所名校单元测试示范卷.高三.理数（十六）

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20．方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示一个圆．
（1）求m的取值范围；
（2）求这个圆的面积最大时圆的方程．试题答案

分析 （1）方程即 （x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，它表示圆时，应有-m²+2m+3＞0，求得m的范围．
（2）当半径最大时，应有-m²+2m+3最大，利用二次函数的性质求得此时m的值，可得对应的圆的方程．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0 即 （x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，它表示圆时，
应有-m²+2m+3＞0，即m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
（2）当半径最大时，应有-m²+2m+3最大，此时，m=1，圆的方程为 x²+y²-4x+2y+1=0．

点评 本题主要考查圆的标准方程，求二次函数的最大值，属于基础题．