2023全国100所名校单元测试示范卷文科高三数学卷八

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17．当m在什么范围内变化时，不等式3${\;}^{{x}^{2}+27lo{{g}_{m}}^{3}}$＞m³对一切x∈R恒定立？试题答案

分析 把已知不等式两边取对数，然后由恒成立得到3log₃m-27log_m3＜0，再求解关于m的对数不等式得答案．

解答 解：由题意可知，m＞0且m≠1，
∴把不等式3${\;}^{{x}^{2}+27lo{{g}_{m}}^{3}}$＞m³两边取以3为底数的对数得：
x²+27log_m3＞3log₃m，
∴x²＞3log₃m-27log_m3，
要使对任意实数x都成立，则3log₃m-27log_m3＜0，
∴$\frac{lgm}{lg3}-9\frac{lg3}{lgm}＜0$，即$\frac{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3}{lg3lgm}＜0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lgm＞0}\\{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{lgm＜0}\\{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3＞0}\end{array}\right.$②．
解①得：1＜m＜27；解②得0＜m＜$\frac{1}{27}$．
∴m的取值范围是（0，$\frac{1}{27}$）∪（1，27）．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查数学转化思想方法，两边取对数是解答该题的关键，是中档题．