2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学·全国人教Y卷

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8．正整数x₁、x₂、…、x₇满足x₆=144，x_n+3=x_n+2（x_n+1+x_n），n=1，2，3…，求x₇．试题答案

分析 通过x_n+3=x_n+2（x_n+1+x_n）可知$\frac{{x}_{6}}{{x}_{5}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{3}}$均为正数，进而计算即得结论．

解答 解：∵x_n+3=x_n+2（x_n+1+x_n），
∴$\frac{{x}_{n+3}}{{x}_{n+2}}$=x_n+1+x_n，
又∵x₁、x₂、…、x₇均为正整数，
∴$\frac{{x}_{6}}{{x}_{5}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$均为正整数，
∴$\frac{{x}_{6}}{{x}_{4}}$、$\frac{{x}_{6}}{{x}_{3}}$、$\frac{{x}_{5}}{{x}_{3}}$均为正整数，
又∵x₆=144，
∴x₅=18、x₄=6、x₃=2、x₂=1、x₁=2，
或x₅=16、x₄=8、x₃=1、x₂=1、x₁=7，
①当x₅=18、x₄=6、x₃=2、x₂=1、x₁=2时，
x₇=x₆（x₅+x₄）=144（18+6）=3456；
②当x₅=16、x₄=8、x₃=1、x₂=1、x₁=7时，
x₇=x₆（x₅+x₄）=144（16+8）=3456；
综上所述，x₇=3456．

点评 本题考查数列的通项，找出内在规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．