2023100所名校单元测试示范卷数学

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6．已知函数f（x）=（x²-3x）e^x．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k＜1时，判断方程$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$+x=kx-4的实根个数，并证明．试题答案

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）由题意可得原方程即为x³-3x²+（1-k）x+4=0，令g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，讨论x≤0，x＞0，求出导数，运用单调性和函数零点的存在定理，即可得到证明．

解答 解：（1）f（x）=（x²-3x）e^x的导数为f′（x）=（x²-x-3）e^x，
即有f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为k=-3e，
切点为（1，-2e），切线的方程为y+2e=-3e（x-1），
即为y=-3ex+e；
（2）当k＜1时，方程$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$+x=kx-4，即为x³-3x²+（1-k）x+4=0，
令g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，由k＜1，可得1-k＞0，
当x≤0时，g′（x）=3x²-6x+1-k＞0，g（x）在（-∞，0]递增，
g（-1）=k-1＜0，g（0）=4＞0，g（x）在x≤0时有一个实根；
当x＞0时，令h（x）=x³-3x²+4，h′（x）=3x²-6x，
可得h（x）在x=2处取得极小值，且为0，又（1-k）x＞0，
则g（x）=0在x＞0时，无实根．
综上可得，g（x）=0仅有一个实根，即原方程实根个数为1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，注意运用构造函数和单调性的方法，考查运算能力，属于中档题．