山西思而行 2024-2023高三5月省际名校联考三(押题卷)数学考试试题及答案

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山西思而行 2022-2023高三5月省际名校联考三(押题卷)数学考试试卷答案

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6．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（　　）

分析（1）△ABC中，利用二倍角的余弦公式公式、同角三角函数的基本关系求得cosC的值．
（2）由条件利用正弦定理可得cosC=$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{5}$，即5b=6a，再利用余弦定理求得b的值．

解答解：（1）△ABC中，∵sinC=2（1-cosC），∴sinC=2-2cosC，
即2sin$\frac{C}{2}$•cos$\frac{C}{2}$=2-2（1-2${sin}^{2}\frac{C}{2}$）=4${sin}^{2}\frac{C}{2}$，又sin$\frac{C}{2}$≠0，
∴cos$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$，∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
故C为锐角．
再根据$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{3}$，sin²C+cos²C=1，求得cosC=$\frac{3}{5}$．
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，由正弦定理可得2acosC=b，
故cosC=$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{5}$，∴5b=6a．
再由余弦定理可得c²=4=a²+b²-2ab•cosC=${（\frac{5b}{6}）}^{2}$+b²-2•$\frac{5b}{6}$•b•$\frac{3}{5}$，
求得b=$\frac{12}{5}$．

点评本题主要考查二倍角的余弦公式公式、同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．