环际大联考 圆梦计划2023年普通高等学校招生适应性考试(5月)数学考试试题及答案

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环际大联考 圆梦计划2023年普通高等学校招生适应性考试(5月)数学考试试卷答案

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10.某人对猫毛过敏,猫毛可引发其体内产生IgE抗体,当猫毛再次人侵机体时,可引发肥大细胞产生组胺、白三烯等物质,使患者出现皮肤红肿、瘙痒、流泪、鼻痒、涕多等症状。下列分析正确的是A.IgE抗体由浆细胞产生,IgE主要存在于血清中B.组胺和白三烯属于免疫活性物质,能增强人的免疫力C.过敏反应中既发生体液免疫,也发生细胞免疫D.过敏者皮肤红肿与毛细血管扩张、血管壁通透性増强有关

分析由已知得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OC}$|$•|\overrightarrow{OA}|$$•cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$=m+n，${\overrightarrow{OA}}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}=1$，由此能求出n²，再由cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=n²，能求出cos∠AOB．

解答解：∵两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，
∴$∠AOC=∠BOC=\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OC}$|$•|\overrightarrow{OA}|$$•cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=m+n，${\overrightarrow{OA}}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=n²，
∴cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=n²，
∴cos∠AOB=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$或cos∠AOB=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

点评本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、向理夹角余弦值的坐标运算公式的合理运用．