2023年湖南大联考高三年级5月联考（578C·HUN）数学考试试题及答案

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2023年湖南大联考高三年级5月联考（578C·HUN）数学考试试卷答案

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9．有一长为1km的斜坡，它的坡角为20°，现不改变坡的高度，填土将坡角改为10°，则斜坡变为（　　）

分析利用等差数列的通项公式可得：log_ka_n=2n+2，解出a_n=k²ⁿ⁺²．可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=k²．可得c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk．要使c_n＜c_n+1对?n∈N^*恒成立，化为：（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk．对k分类讨论即可得出．

解答解：∵log_ka_n=4+2（n-1）=2n+2，∴a_n=k²ⁿ⁺²．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{k}^{2（k+1）+2}}{{k}^{2n+2}}$=k²．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为k⁴，公比为k²．
∴c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk．
要使c_n＜c_n+1对?n∈N^*恒成立，∴（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk＜（2n+4）k²ⁿ⁺⁴•lgk，化为：（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk．
当k＞1时，lgk＞0，化为：（n+1）＜（n+2）•k²．此式恒成立．
当0＜k＜1时，lgk＜0，化为：（n+1）＞（n+2）•k²．对n∈N^*恒成立，只需k²＜$（\frac{n+1}{n+2}）_{min}$，
∵$\frac{n+1}{n+2}$=1-$\frac{1}{n+2}$单调递增，∴当n=1时，$（\frac{n+1}{n+2}）_{min}$=$\frac{2}{3}$．
∴k²$＜\frac{2}{3}$，且0＜k＜1，∴$0＜k＜\frac{\sqrt{6}}{3}$．
综上可得：$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$∪（1，+∞）．
故答案为：$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$∪（1，+∞）．

点评本题考查了数列的单调性、等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．