富平县2023年高三模拟考试(5月)数学考试试题及答案

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富平县2023年高三模拟考试(5月)数学考试试卷答案

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20．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（1）试判断直线l是否过定点，若过定点，则求出定点，不过，则说明理由；
（2）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（3）求圆C截直线l所得的弦长的最小值及此时直线l的方程．

分析（1）化简得f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），代入周期公式计算；
（2）g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，由x的范围得出2x的范围，结合正弦函数的单调性求出最值．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期是T=π；
（2）g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，
∵x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}}]$，∴2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x=$\frac{π}{2}$时，g（x）取最大值2；
当$2x=\frac{7π}{6}$时，g（x）取最小值-1．

点评本题考察了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．