2024衡水金卷先享题压轴卷数学1

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【题目】如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0），F1 ， F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．

（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且 =2 ，求椭圆的方程．

【答案】
（1）解：若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形．则|OA|=|OF2|，即b=c．

∴a= = c，

椭圆的离心率e= = ；

（2）由题知2c=2，c=1，则A（0，b），F2（1，0），设B（x，y），

由 =2 ，即（1，﹣b）=2（x﹣1，y），

∴ ，解得x= ，y=﹣ ．

代入椭圆 =1，即 解得a2=3．b2=a2﹣c2=2，

∴椭圆方程为 ．

【解析】（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形．即b=c．则可求出e的值。
（2）有题目可知A（0，b），F2（1，0），设B（x，y）。由可得B点坐标，代入椭圆方程即可。